Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, meine Damen und Herren, herzlich willkommen.

Weiter geht's hier mit der Continuous-Mechanik.

Das ist unglaublich laut, oder?

Na ja, okay. Also, vielleicht ganz kurz als Warm-up.

Wir hatten ja letztes Mal begonnen, uns über die Bilanzgleichungen,

die wir uns jetzt entwickeln wollen, so ein bisschen zu sprechen.

Und dabei ist eben, sag ich mal, der generische Zugang der,

dass wir uns eben so einen Körper angucken und dann auch die anderen

aus dem Körper so ein Stückchen rausschneiden, das Teilvolumen V,

mit dem Rand dV, und eben uns dann eine Größe, die wir eben bilanzieren wollen,

eben anschauen, die nennen wir hier meinetwegen einfach mal Beta.

Und dann ist eben die Überlegung, die Folgende, dass sich diese Größe

eben ändert in der Zeit in diesem Teilvolumen V aufgrund verschiedener Effekte

oder verschiedener Einflüsse. Da haben wir zum einen mögliche Quellen

für diese Größe, die sind in dem Teilvolumen V enthalten.

Wir haben gegebenenfalls Flüsse von dieser Größe über den Rand

und in zumindest einem Fall gibt es auch noch so eine Größe,

die nennen wir die Produktion in dem Gebiet V.

So, dieses Beta, was hier so ganz abstrakt einfach irgendeine Größe mal sein soll,

ist hier eine Dichte pro Einheitsvolumen, also wie beispielsweise die Massendichte,

also die Massendichte, Masse pro Volumen. Und wenn wir jetzt also die gesamte Menge davon,

die in diesem Ausschnitt V enthalten ist, betrachten wollen, müssen wir eben natürlich

darüber über das Volumen entsprechend integrieren.

Und dann ist die Änderung dieses gesamten, in dem Volumen V enthaltenen Anteils an Beta,

dass es eben zunächst mal die Zeitableitung muss ich auf das ganze Integral anwenden.

Weil aber hier aufgrund der geometrischen linearen Beschreibung das Integrationsgebiet,

also sprich das dV, sich nicht ändert, kann ich eben die Zeitableitung in das Integral reinziehen

und direkt auf den Integranten draufsetzen. Also das ist schon mal so eine kleine Vereinfachung,

über die wir normalerweise wahrscheinlich gar nicht nachdenken, aber ich muss das vielleicht doch einmal sagen.

Gut, okay, und dann hatten wir gesagt, sieht das folgendermaßen aus, hier ist jetzt mal so eine

wiederum generische Bilanzgleichung und alle Bilanzgleichungen, die wir anschauen, die sehen im Grunde ganz genau so aus.

Wir haben auf der einen Seite die Größe, die wir bilanzieren wollen, das ist hier das Beta,

und auf der rechten Seite sind alle Größen, die dazu führen, dass das Beta sich ändert.

Da haben wir zunächst mal die Quelltherme, die kommen eben auch wieder als Volumensdächte,

das ist auch eine andere Art Sigma zu schreiben, das Integral darüber sind die Quellen, die Sources.

Dann haben wir den Fluss über den Rand, da habe ich ja einfach mal Phi genannt generisch,

und eben in dem einen Sonderfall, oder in dem einen Fall, hätten wir noch so einen Produktionstherm für Beta in dem Volumen V,

und das einzige Beispiel für so einen Thermen, das ich habe, ist eben die Entropiebilanz,

und da wäre das entsprechend die Entropieproduktion, und die unterliegt dann so einer Nebenbedingung,

dass die positiv sein soll, das sehen wir dann aber später noch, wenn wir dazu kommen.

So, und wenn man sich das jetzt so anguckt, das ist alles ganz nett, aber was wir eigentlich haben wollen,

ist hinterher ein Ausdruck, der an jedem Punkt des Körpers gilt, und nicht eben als ein Integralstatement nur,

und darum muss ich jetzt mal gucken, ok, fast alle Terme sind Volumensintegral, das ist schon mal nett,

das ist nur ein einziger Term, das ist das Integral über den Rand, dieses Teil Volumens, der Beitrag von den Flüssen,

und da kann ich jetzt das Folgende machen, das hatten wir letztes Mal schon in aller Kürze erwähnt,

dass wir eben dieses eine Integral haben über den Rand und nicht über das Volumen,

und wenn die Flüsse, nehmen wir mal an, das wäre hier eine skalarwärtige Größe, die Flüsse,

wenn die sich eben gewinnen lassen durch Projektion eines vektorwertigen Flusses, das ist dieses fette Phi, mit der Oberflächennormale,

dann können wir den sogenannten Gaussatz benutzen, der uns ja gerade ein Integral über die Oberfläche umwandelt,